Decidí crear un virus bueno que nos aportara luz y color. Nació de unas calabazas que mi abuelo cultivó en su huerta (en los cuentos han sido siempre el origen de la magia, la materia prima). Funcionó, existe tal y como lo imaginé. Te contagiaste y no hay cura!
martes, 7 de noviembre de 2017
La utopía, las ternas, las cuaternas y las bases de la geometría descriptiva y los Dioses que sonríen.
Imagina poder conocer al mismo sol.
La palabra Utopía proviene del griego “Ou (no) Topos (lugar)”, es decir “Lugar que no existe”; en lo cotidiano manejamos el término utopía o utópico para designar casi una fantasía o un disparate, o más bien un sueño.
En una entrevista a Eduardo Galeano, le preguntaron qué significaba para él Utopía; se quedó pensando unos segundos y contestó: Utopía es un lugar que está como a cien pasos de nuestra realidad, caminamos diez pasos hacia el, y él se aleja diez pasos, caminamos veinte y veinte se aleja; -le interrumpió el entrevistador- ¿entonces para que nos sirve la utopía?, - contestó Galeano- para caminar amigo, sólo para seguir caminando...
Yo digo que caminando y caminando llegaremos, ¿no? Al conocimiento.
Podemos llegar por el camino que queramos, que lo importante es que lleguemos. Que lleguemos nosotros y que lleguemos con nuestros acompañantes.
¿La mejor estrategia? Vosotros la juzgáis en cada momento.
Ya os voy diciendo que el post va a ser algo tan mágico como Pitágoras en 60 segundos, si lo entendéis, por supuesto, que este secreto necesita un poquitito de visión geométrica. Ya os voy dejando un vídeo maravilloso que he encontrado con mi red en el maravilloso mar de YouTube, para que empecéis a calentar:
Pitágoras en 60 segundos
------(A partir de esta línea el camino de la geometría descriptiva se llenará de utopía de verdad )
A ver, en lo cotidiano me suelo quedar en el sueño por este blog, porque eso lo podéis entender todos, vayáis por el camino que vayáis. Pero siempre hay alguien que me deja un comentario queriendo algo concreto, no tanta utopía. Venga, hoy se lo voy a dar, que tengo tiempo. Voy a dejar unas chispas concretas con las que algunos vais a alucinar, los que queráis aprender las bases conceptuales de la geometría descriptiva, ese apasionante apartado del dibujo técnico.
Voy a intentar hoy escribir con letras, porque este secreto merece estar escrito en algún lado, y si me pongo muy matemático y quito las palabras sé que os perdéis del todo.
Empezamos con preguntas lanzadas:
¿Qué es terna? ¿Qué es cuaterna? ¿Cuándo se conserva? ¿Por qué se conserva? ¿Por qué no?
Venga, que sé que estáis demandando conocimiento.
Una terna es un cociente de distancias. De alguna forma esa terna me está expresando un sistema de medida adimensional (eso no tiene unidades -divido longitud por longitud y me queda adimensional).
Medir simplemente es mover una unidad y comparar cuántas veces me cabe esa unidad. Y eso es Tales.
¿Qué es lo que plantea la geometría proyectiva? Establecer un modelo en el que no haya una dependencia de las unidades (luego no puedo tener una unidad fija).
¿Dónde tengo ternas? Cuando yo estoy haciendo la proyección cilíndrica ortogonal sobre un plano Pi (proyecto desde un punto que está en el infinito) tengo un diédrico, un axonométrico, casi es una caballera (sólo tengo que rotar el plano), si tengo tres puntos ABC, al proyectarlos, según distintas nomenglaturas, voy a tener las proyecciones. Si utilizamos el diédrico con línea de tierra tendremos subíndices (subuno, subdos, subtres, según sobre qué plano), y si lo hacemos sin línea de tierra, les llamaremos con tildes. Para no entrar en qué sistema estoy utilizando podemos decir que tenemos el punto A proyectado, el B proyectado y el C proyectado.
La terna ABC, que también llamamos razón simple es un invariante, no cambia en esa proyección(será igual a la terna A' B'C').
¿Para qué me sirve esto? Imaginaos que tengo una proyección en diédrico de una recta.
Si yo tengo un punto que por ejemplo está a 1/3 de otro de la recta, yo tengo dos formas de encontrar ese punto. Uno proyectivamente, vinculándolo con las proyecciones, y otro estableciendo una relación de Tales (porque se conserva la terna, la razón simple).
En cada sistema sabré cómo calcular elementos sin necesidad de vincular esas proyecciones.
Imaginaros que yo tengo una casa y en otro plano (que es en otra hoja que no la tengo vinculada, no la puedo relacionar) tengo un lateral de esa casa, y yo quiero saber cuánto mide una línea determinada o quiero buscar la correspondencia entre un punto de la vertiente en el plano y la correspondiente en la casa real. ¿Puedo trazar una línea del plano a la realidad? No, porque está el plano en una hoja separada, pero si soy capaz de establecer una relación AB, en la realidad tiene que conservarse la misma relación AB. Puedo separar las vistas, encontrar una razón en un sitio y la misma razón en el otro.
Luego el concepto proyectivo tiene un ropaje matemático geométrico que me permite independizarlo. Lo puedo mover, lo puedo rotar, y la terna sigue igual, porque no he variado las distancias. Lo puedo hasta escalar. Como se conserva la terna, puedo pasar de un punto en un lado al correspondiente en el otro directamente, sin necesidad de perseguir toda la transformación (ése es el interés).
Pero no sólo eso. Si esto es una proyección sobre un plano ortogonal o esto es una proyección sobre otro plano distinto oblícuo y resulta que se conserva también la terna, todas las propiedades derivadas de esto son independientes del sistema. Luego si yo encuentro una propiedad en diédrico asociada a las ternas, lo puedo llevar a axonométrico, lo puedo llevar a caballera... (lo puedo encontrar en todos los sistemas cilíndricos), o en un sistema de planos acotados (de curvas de nivel) -porque es un tipo de proyección similar a éste (idéntica).
¿Qué es lo que estamos buscando con este modelo mentalmente? ¿Cuál es aquí la utopía? No tengo que memorizar un sistema y otro como si fueran mundos diferentes, ya que son el mismo (con su pequeña particularidad, que es que en algunos sitios tengo Pitágoras, tengo una métrica muy fácil, y en otros no lo tengo). Lo que va a cambiar es el sistema de medida, cómo mido en un sistema o en otro. Por ejemplo, si nos dan un cuadrado en un sistema o en otro, en uno pueden ser paralelos los lados, en otro no, pero siempre podremos encontrar el centro del cuadrado, porque está en la intersección de las diagonales. Es decir, la intersección, la pertenencia (topológicamente) es un invariante EN TODOS LOS SISTEMAS. Sea como sea el sistema, ese punto lo puedo determinar.
Ése es un invariante topológico. Hay dos más, invariantes proyectivos e invariantes métricos, Con esos tres elementos construyo cualquier sistema. Veo lo que diferencia a unos de otros, pero con estos tres invariantes, lo tengo ya todo.
Vamos entonces a utilizar tres cosas para nuestra utopía, para nuestro camino hacia el infinito: Tales, Pitágoras y ángulos de la circunferencia. Todas nuestras demostraciones saldrán con solo estos tres instrumentos (lo que demostrará que las bases de nuestra utopía son sólidas).
¿Cuándo se conserva entonces la razón simple y cuándo no se conserva?
Ya hemos visto cuándo se conserva, cuando tenemos una proyección cilíndrica. Cuando lo que tengo es una proyección propia (desde un punto propio), central (desde un centro), o una proyección de naturaleza cónica, no se conserva la razón simple. Hay una particularidad con la que sí que se seguiría conservando, que es si la recta sobre la que proyecto es paralela, pero si no se da esta particularidad, no se conserva la razón simple. En el caso genérico estoy seccionando con dos rectas que no son paralelas. En este caso ya tenemos ángulos, luego en la terna tenemos que introducir el concepto de ángulo. En lugar de los puntos A,B y C, voy a cambiar de mundo, me voy a ir al mundo de las rectas a,b y c, y voy a definir la terna de las rectas a,b y c. Será un cociente, pero vendrá con una relación de ángulos (la que se establece es la del seno).
Os muestro esa terna ya con la relación del seno. Queremos establecer una relación entre las ternas de puntos y las ternas de rectas. Para eso hacemos que se corten, ya que queremos establecer vinculaciones entre ambos. Las tres rectas forman un ángulo cualquiera (es totalmente genérico). Para ver la relación buscaremos primero el concepto de seno, que es ese segmento adimensionándolo con el valor de la hipotenusa (son dos hipotenusas distintas, una en un caso y otra en el otro, en rojo en la pizarra). Los ángulos que busco van a ser alfa y beta. Con triángulos rectángulos y con Tales sacaremos esa relación que tengo entre la terna de puntos y la terna de rectas. Como veréis, no son iguales, hay un factor. ¿Cuándo son iguales? Cuando V está en el infinito, ya que la distancia VC es la misma que la VB.
Repito: ¿Cuándo es igual la terna de rectas a la terna de puntos? Como dije antes, cuando VC/VB valga uno, es decir, que V esté en el infinito, que es lo que pasaba con las proyecciones ortogonales. ¿En qué otro caso son iguales? Cuando las rectas son paralelas.
¿Dónde aparece la verdadera magia? Ahora seccionamos por una recta y tenemos los puntos ABCD. En lugar de una terna, ahora vamos a trabajar con una cuaterna que, por definición, es un cociente entre dos ternas, una razón de dos ternas. Ahora, al ser un cociente de dos ternas, el factor que multiplicaba antes, relacionando una terna de puntos a una terna de rectas, al estar en el numerador y en el denominador, ya se convierte en uno, cumpliéndose que la cuaterna de puntos y la de rectas son ya idénticas.
Las ternas no se conservaban en todos los casos, pero las cuaternas sí. Lo que puedo hacer con cuaternas es magnífico.
Resumimos entonces:
cuando los rayos sean paralelos o cuando las rectas que secciones sean paralelas, se conserva la razón simple. Y en otro caso, se conserva la cuaterna.
Creo que para algunos ha salido el sol en la geometría descriptiva de su vida con todo esto. Hoy ha llegado Prometeo con su fuego.
Continuemos con la utopía del conocimiento:
La llama del fuego que ilumina es sinónimo de saber.
Prometeo (personaje mítico de la literatura griega) representa el arquetipo que todos desarrollamos en cuanto al concepto de progreso, cambio, avance, particularmente aquel que se da en el proceso educativo. El impulso innato de mejorar nuestro presente. La tozudez de Zeus (dios supremo según la mitología Griega) a no querer dar el fuego a la humanidad simboliza nuestra resistencia al cambio, quien castiga a Prometeo por la osadía y desobediencia al entregar el "privilegio" del fuego a los hombres.
La mitología griega era así. Por suerte, con el virus de la Calabacitis, Zeus ha cambiado. Las calabazas que antes nos daba Zeus, han cambiado. Y ahora permitirá que la humanidad sea más sabia con una gran sonrisa. Y que las calabazas sean convertidas en carrozas de cristal.
A veces, en la mitología griega, se aludía a Helios (el Sol) con la palabra Panoptes ("el que lo ve todo"). Ojalá que hayas podido conocer al mismo Sol y hayas quedado todo Panopte con este post.
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El primer dibujo del narrador del libro de Saint-Exupéry representaba a una serpiente boa digiriendo un elefante. Pero todos los adultos, en cambio, veían otra cosa: un simple sombrero. Esto le hizo abandonar su pasión por los pinceles, hasta que se encuentra con el Principito que, inmediatamente, se da cuenta de que se trata de un elefante dentro de una boa.
ResponderEliminar("Pero siempre me contestaba: 'Es un sombrero'. Entonces no le hablaba de serpientes boas, ni de selvas vírgenes, ni de estrellas. Me ponía a su altura. Le hablaba de bridge, de golf, de política y de corbatas. Y la persona mayor quedaba encantada de conocer a un hombre tan razonable".)
Cuando has visto esto de los invariantes, cuando has visto que todo encaja, has visto el elefante dentro de la boa. Si no, sigues viendo el sombrero. Sigues pensando que el dibujo técnico es aprender doscientas mil construcciones de memoria, como si fuera un libro de cocina. Y se te quitan hasta las ganas de pintar.
Hay que reconciliarse con la creatividad que teníamos de niños, que era capaz de ver el cordero dentro de una caja. No hace falta aprenderse doscientas mil construcciones de corderos. Con tener la capacidad de ver lo que se cumple (que esa caja es una habitación perfecta para tu cordero perfecto) ya basta. Si no hubiera planos para construir las casas, ¿nos iban a haber salido con tanta perfección? Imaginaos, construir un complejo residencial al tuntún, igual de complicado que pintar el cordero perfecto. Pero si somos capaces de ver los invariantes y los vamos llevando del plano a la realidad poquito a poco, ocurrirá al final que el complejo residencial va apareciendo de repente y las distintas casas acaban teniendo las habitaciones donde podremos vivir (sin planos quizás alguna se quedaría como el rosario de la aurora, sin armario, sin ventana...).
Espero que me entendáis, por qué este post (entenderlo) es llegar a la utopía que nos lleve al verdadero conocimiento).
Puf... I have to say that, while I see the magic of proportions explained here, my spatial vision is very, very limited (it always has been, not your fault, I'm aware of my strengths and weaknesses). Maybe my role here is to get you used to the student who struggles!
ResponderEliminarThank you for bringing us the fire, like a modern Prometheus.
Muchas gracias, Shall I compare thee, por estar siempre ahí, aunque sea con un rol hoy complicado de llevar. Sí, sé que el post no es para que lo lea alguien que no tiene ni idea del tema, y es que no se puede abarcar todo.
EliminarYo quisiera volver al cole, y no sólo con filosofía o inglés... también con dibujo técnico, que es precioso cuando lo ves de cerca. Aún me queda, no te creas que no, todo por aprender.
Abrazos reflejados sobre el mar.
But I can still enjoy it! I'm not a hopeless case at the mathematical part of it, I just find it hard to visualize. I scraped through Technology at highschool precisely because I just couldn't distinguish perspectives... But I know that if I apply myself to it I can see it.
EliminarWhat can I say... I'm more taken by the Math. The fact that certain proportions, measures or projections are maintained, even in different systems, is simply fascinating. You do transmit that magic, which is no mean feat.
Indeed, everything left for us to learn. One of the things I miss from my school days is the fact that I could learn about so many different things. These days I focus so much on one particular field that I really wish for some more diversified knowledge. Some people, I guess, are like me: we go from flower to flower like a butterfly, or a busy bee.
A quien echo yo de menos por aquí es a J.J., que siempre me dice cosas en plan "Empachado de trazos y ávido de conocimiento me has dejado. Nos falta ver desde ese ángulo del conocimiento que seguro que eres capaz de presentar".
ResponderEliminarJ.J., ¿hoy te has quedado saciado?
Hoy he escuchado el eco del conocimiento, que sólo yo lo entiendo si lo he emitido. Te acercas a lo que deseo pero lo busco de propia cosecha, como las calabazas. Equilibrado en el verbo y en la imagen y en el orden que permita la razón.
ResponderEliminarEn cualquier caso no deja de sorprenderme la transversalidad del discurso, enriquecido y envuelto en esa magia del blog.
Seguiremos perseverando en las peticiones hasta alcanzar el fin deseado. Somos tercos.
JJ