Problema Fundamental de Tangencia (PFT)

Tras una Navidad en la que han primado las etiquetas "arte para todo", volvemos a nuestro querido Dibujo Técnico. Espero que le saquéis el máximo partido a esta entrada para resolver el problema fundamental de tangencia que se plantea. Quitando el click (o poniéndolo, depende de vuestro interés) de los recuadros, desaparecerá ese paso en concreto del problema (o volverá a aparecer si lo volvéis a dar). Cuando yo estudiaba Dibujo Técnico en el instituto o en la carrera no había estas cosas y me llevaba mil colores para ir viendo todos los pasos. Ahora, gracias a Geogebra, ¡os puedo guiar tan bien! Veréis todas las líneas, incluso podréis mover prácticamente todo, si lo deseáis.

Recomiendo que, si los polvorones en la barriga os han hecho olvidar los conceptos necesarios, repaséis el concepto de Potencia. Volvemos a aquella Potencia con mucho Amor de entradas pasadas (Pincha aquí)



Si queréis verlo en una ventana nueva: pinchad aquí (se verá mucho mejor)

Potencia con mucho amor

El amor es pura potencia. Teniendo amor podrán venir el resto de fuerzas que nos traigan la felicidad. Hoy Fili se va a encargar de recordarnos algunos conceptos geométricos, pero antes vamos a dejar que nos recuerde (esta vez en inglés, que es el idioma universal hoy en día) lo potencial que es el amor.


Por cierto, Mocaqua es el alter ego de Calabazo Mayor del Reino (o del artista Nacho Paswal). Eligió ese nombre porque es pura potencia, ya que significa de alguna forma "mi agua" (y ya sabes que somos un 80% agua pura).


Bueno, ahora, que lo hemos recordado, estamos preparados para todo lo demás.



Concepto de Potencia de un punto P respecto a una circunferencia (me da igual que el punto sea interior o exterior a la circunferencia): es el producto de la distancia mayor por la distancia menor del punto a dicha circunferencia c.

¿Si hablamos de distancias a un punto, en verdad de qué estamos hablando gráficamente? De circunferencias de centro ese punto. Si empezáramos a trazar circunferencias de centro P, habrá una que sea tangente a la circunferencia c. La tangente común a las dos circunferencias es perpendicular a los radios, y como los radios están alineados, sacamos que a es la distancia menor y b es la distancia mayor ( ambas distancias se encuentran en la prolongación del diámetro que pasa por el punto P).


La distancia del punto P al centro de la circunferencia es d

Podemos expresar que a= d-R y b= d+R


si multiplicamos a * b = (d-R) * (d+R)

y como suma por diferencia es diferencia de cuadrados

a * b =d² - R²

que nos recuerda a la expresión de un cateto despejado del teorema de Pitágoras

d² - R²  = W² 

donde  d² = W² + R²       siendo d la hipotenusa, R un cateto y W el otro cateto. 

Si d es la hipotenusa, los catetos tienen que estar en un arco capaz de 90º



Donde se intersecte el arco capaz con la circunferencia c tendré el vértice del triángulo rectángulo que tiene un cateto que mide R y otro que mide W.


 

Llamamos a W raíz de la potencia (a W al cuadrado le llamaremos potencia). Recuerda que potencia es por definición el producto de dos distancias, y para que las dimensiones a ambos lados de la igualdad cuadraran, hemos decidido hacerlo así.


Luego la raíz de la potencia (W) de un punto exterior a una circunferencia es el segmento de tangencia.


¿Qué sería entonces la potencia? El área del cuadrado de lado W (cuyos vértices son M1,L1, P y el punto de corte del arco capaz con la circunferencia ).

Ahora vemos cómo sería si el punto P fuera interior a la circunferencia:



La potencia de un punto P respecto de una circunferencia es igual a la diferencia de cuadrados de la distancia del punto P al centro C de la circunferencia y el radio R de la misma y también al cuadrado del segmento de semicuerda PT perpendicular a PC si P es interior

Es decir, la potencia en este caso sería el área del cuadrado rosa:

Generalización del concepto de “Potencia”


Si consideramos dos rectas que pasan por un punto P y seccionan a una circunferencia, los puntos de corte con dicha circunferencia (A, B, C y D) determinan dos triángulos semejantes:


PAD
PCB

Al aplicar los conceptos de arco capaz sobre un segmento, vemos que los ángulos en B y D deben ser iguales por ser inscritos en la circunferencia que pasa por los cuatro puntos. Por otro lado los triángulos comparten el vértice P y por lo tanto su ángulo, y en consecuencia son semejantes.


Aplicando el teorema de Thales a los dos triángulos semejantes tendremos que:

PA/PD = PC/PB


y por lo tanto


PA * PB = PC * PD = Constante


Lo que demuestra que la potencia desde el punto P es independiente de la recta elegida, como queríamos demostrar.